|
В наши дни распространено странное мнение, что всему следует обучать на лекциях... Я не знаю ничего такого, что лучше всего усваивается на лекциях, за исключением материала, который надо сопровождать показом опытов.
Д-р Сэмюэль Джонсон |
Хорошо известно, что в ряде случаев тело, получившее некоторое возмущение, после этого совершает колебания. Хотя такие свободные колебания сами по себе обычно не представляют особенного интереса для техники, знакомство с ними необходимо, поскольку их роль косвенно чрезвычайно важна. Дело в том, что поведение системы при свободных колебаниях характеризует ее "динамическую индивидуальность", которая определяет поведение системы при всех других условиях.
§ 2.1. ПРИРОДА СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ
После того как по струне рояля ударит один из молоточков, струна продолжает "сама по себе" совершать колебания - свободные колебания. Такие колебания возможны благодаря тому, что струна обладает двумя свойствами. Во-первых, она имеет массу, и поэтому при своем движении может накапливать кинетическую энергию. Второе свойство также является весьма обычным - это способность струны накапливать потенциальную энергию при отклонении ее от состояния равновесия.
Точно так же обычный маятник может совершать колебания благодаря тому, что, во-первых, его гиря обладает массой и, во-вторых, при подъеме гири относительно своего низшего положения она накапливает потенциальную энергию.
Позднее мы коснемся вопроса о вибрациях самолетов. Может показаться, что хотя самолет имеет достаточную массу, конструкция его является достаточно жесткой, так что мало вероятно, чтобы в ней накапливалась энергия за счет изменения формы (деформации). В действительности, однако, с точки зрения инженера, занимающегося динамикой, современный самолет представляет собой нечто в роде летающей "медузы". На фото 7 показано правое крыло воздушного лайнера VC-10 при статических испытаниях на изгиб (т.е. при таких испытаниях, когда крыло не вибрирует). Под действием нагрузки конец крыла заметно переместился, но, тем не менее, крыло при этих условиях еще далеко от того состояния, при котором возникают повреждения. Подобно этому корабли, здания, машины, люди и вообще все тела могут накапливать энергию за счет изменения формы. Так как все тела обладают еще и массой, то после тех или иных начальных толчков они могут совершать свободные колебания.
Для наших целей лучше всего изучить свободные колебания какой-либо очень простой системы. Подвешенная за один конец часть велосипедной цепи может служить идеальным объектом такого исследования, поскольку она наглядно иллюстрирует основные черты свободных колебаний.
Пусть свободно висящая цепь первоначально находится в состоянии покоя. Свободные колебания можно вызвать, если отклонить цепь каким-либо образом и затем отпустить, или если резко ее ударить. При этом мы должны соблюдать правило, согласно которому боковые перемещения любой точки цепи должны быть малыми - в данном случае малыми по сравнению с длиной ценя. Причина такого ограничения не должна здесь нас отвлекать; она будет разъяснена позднее, в гл. VI. Но это ограничение едва ли является стеснительным, потому что, в конце концов, амплитуды колебаний точек конструкции редко оказываются сравнимыми но величине с размерами самой конструкции (если речь идет, как и в данном случае, о колебаниях, связанных с изменением формы).
Что же происходит с цепью? Точное описание свободных колебаний затруднительно, однако легко видеть, что они обладают следующими свойствами:
1. Развитие движения во времени зависит от того, как оно началось.На этом закончим описание свободных колебаний, возникающих после того, как цепь получила начальное смещение или начальный импульс в виде удара. Эти колебания кажутся хаотическими, но мы убедимся, что их рассмотрение без труда можно упорядочить.2. Движение постепенно затухает.
3. При своем движении цепь не имеет какой-либо oпределенной формы; с течением времени форма цепи изменяется (однако в конце движения колебания часто характеризуются более или менее отчетливой формой).
4. Совершенно невозможно указать "частоту" колебаний (с течением времени, однако, движение может принять определенную частоту).
Наше первое наблюдение показывает, как этого добиться. Если мы позаботимся
о том, чтобы надлежащим образом задать начальные условия движения, то окажется
возможным совершенно изменить характер движения цепи с точки зрения особенностей,
отмеченных в пп. 3 и 4: удается получить колебания цепи с неизменной формой
и с определенной частотой. Проще всего это можно продемонстрировать следующим
способом.
 |
 |
Подвесим цепь к кулисному механизму, изображенному на рис. 15. При вращении кривошипа точка подвеса перемещается в горизонтальном направлении по синусоидальному закону. Если при этом можно регулировать скорость двигателя, приводящего механизм в движение, то нам удастся изменять частоту колебаний точки подвеса. При очень низких частотах цепь просто перемещается из стороны в сторону, сохраняя более или менее вертикальное положение (фактически это и есть условие "качка", о которой говорилось в конце первой главы). Однако при возрастании частоты наступает момент, когда цепь начинает интенсивно раскачиваться с частотой, равной частоте возбуждения; форма цепи для этого случая изображена на рис. 16,а. Эти колебания не являются свободными, поскольку мы приводим цепь в движение. Поэтому не будем тюка останавливаться на причине столь интенсивных колебаний. Здесь для нас интересно другое. Если внезапно остановить двигатель (а следовательно, и точку подвеса), то последующие свободные колебания будут совершенно не такими, как при случайно заданных начальных условиях. В рассматриваемом опыте свободные колебания будут затухать, но при этом все время будет сохраняться форма и частота колебаний цепи. Иными словами, характер движения с течением времени остается неизменным.
Возникает естественный вопрос: существуют ли другие значения частоты начального возбуждения, для которых имеет место такой характер движения? Нетрудно показать, что существует целый ряд таких частот. При несколько более высокой частоте колебаний механизма можно возбудить весьма интенсивные колебания, во время которых цепь принимает форму, показанную на рис. 16,б. После резкой остановки точки подвеса такие колебания постепенно затухают, также сохраняя при этом свою частоту и форму. При еще более высокой частоте можно получить форму цепи, изображенную на рис. 16,в. Такого рода колебания можно получать и при дальнейшем увеличении частоты (рис. 16,г), хотя для одной и той же цепи становится все труднее сделать опыт достаточно наглядным.
Мы показали, таким образом, что цепь обладает рядом форм свободных колебаний; их также называют собственными формами. Каждой собственной форме соответствуют определенная частота и скорость затухания колебаний.
Такой более упорядоченный способ изучения движения цепи вполне можно согласовать с нашими наблюдениями над свободными колебаниями, возникающими после удара по цепи или после придания ей какого-либо начального отклонения. В этих случаях более сложное движение является просто результатом наложения (или, как говорят, суперпозиции) колебаний с различными формами, имеющими свои частоты и скорости затухания. Относительная доля каждой формы колебаний в общем движении определяется начальными условиями, при которых возникли свободные колебания.
Человеческое ухо весьма чувствительно к затуханию таких свободных колебаний, частоты которых лежат в звуковом диапазоне. Отчасти именно благодаря этому мы можем различать звуки музыкальных инструментов. Когда мы нажимаем на клавиш рояля, то молоточек ударяет по струне, и последняя совершает свободные колебания, которые постепенно затухают. Если записать звучание струны на магнитофонную ленту и затем прослушать запись, пустив ленту в обратном направлении, то мы услышим соответствующую ноту, однако интенсивность звучания будет постепенно возрастать, а затем звук резко оборвется. Характер звучания в этом случае не таков, как у рояля *.
* В этом отношении интересен менуэт Гайдна из неопубликованной сонаты ля-мажор. Мелодия этого замечательного произведения более или менее одинакова в "прямом" и "обратном" направлениях. Если записать на магнитофонную ленту исполнение этого менуэта, а затем прослушать запись в "обратном" направлении, то можно легко узнать ту же мелодию, хотя она прозвучит как сыгранная на аккордеоне.Собственные частоты системы (вообще любой системы, не обязательно висящей цепи), ее собственные формы и скорости затухания яляются, можно сказать, характеристиками системы, поскольку они не связаны с какими бы то ни было внешними воздействиями. Ввиду важной роли, которую играют эти характеристики, мы рассмотрим каждую из них в отдельности.
§ 2.2. ЧАСТОТЫ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Мы видели, что висящая велосипедная цепь имеет ряд собственных частот. Это относится и к машинам, и к инженерным конструкциям, и вообще ко всем объектам. Все системы могут совершать колебания с одной или несколькими собственными частотами.
Если ударить по клавише "ля" средней октавы рояля, то мы услышим звук с частотой 440 Гц. В действительности это есть лишь частота преобладающих колебаний поскольку струны рояля совершают, кроме того, дополнительные малые колебания по другим формам с частотами 440х2, х3, х4... Гц. Отчасти именно благодаря этим "обертонам" мы имеем возможность отличать звук рояля, скажем, от звука фагота.
Первые (низшие) собственные частоты висящей велосипедной цепи не имеют такого равномерного распределения, как собственные частоты струны рояля (хотя распределение высших частот цепи и стремится к равномерному). Постоянство разностей значений соседних частот вообще ни в коей мере не является правилом. Так, для изображенного на фото 8 самолета VC-10 был найден следующий ряд последовательных значений собственных частот антисимметричных колебаний: 1,85; 2,56; 2,92; 3,96; 4,28... Гц. Вообще возможны случаи, когда система имеет пару близких или даже одинаковых собственных частот (представьте себе, например, колебания конического маятника в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, проходящих через точку подвеса).
Если в начальный момент форма системы совпадает с одной из собственных форм, то при последующих свободных колебаниях эта форма и соответствующая ей частота не изменяются, хотя колебания и затухают. Все это можно продемонстировать на висящей цепи. Оставим пока в стороне вопрос о затухании одночастотных колебаний и займемся исследованием собственных частот и форм.
Подвесим груз на резиновом шнуре, оттянем его вниз и отпустим. Груз будет совершать возвратно-поступательное движение в вертикальном направлении, причем это движение практически имеет одну форму. Последнее обстоятельство объясняется тем, что колебания по другим формам, связанные с искажениями формы резинового шнура, имеют высокие частоты и быстро затухают. Система имеет, таким образом, одну ярко выраженную форму собственных колебаний, и поэтому особенно удобна для эксперимента.
Прежде всего, можно заметить, что частота вертикальных колебаний не зависит от амплитуды. Это обстоятельство не является для нас новым: мы уже видели, что при свободных колебаниях цепи, соответствующих одной из ее собственных форм (а следовательно, при уменьшении амплитуды) частота не изменялась. Однако, хотя мы не можем изменить частоту путем варьирования амплитуды, этого изменения молено достичь, если изменить саму систему. Оказывается, что увеличение массы груза, подвешиваемого на шнуре, приводит к снижению частоты колебаний. Наоборот, частоту можно увеличить, повысив жесткость подвески (например, прикрепив дополнительно параллельный шнур).
Эти результаты носят общий характер. Увеличение массы системы приводит к снижению, а увеличение жесткости - к возрастанию всех ее собственных частот; при этом различные частоты изменяются в различной степени. "Жесткость" струны рояля связана с ее натяжением. Поэтому, когда настройщик хочет повысить тон какой-либо струны (т. е. увеличить собственные частоты), он увеличивает ее натяжение. Однако если "жесткость" системы пропорциональна ее массе (примером может служить математический маятник), то увеличение массы не приводит к изменению собственной частоты. Изменение массы или жесткости представляет собой изменение наиболее важных характеристик системы, поэтому, как и следовало ожидать, собственные частоты (и, разумеется, собственные формы) окажутся, вообще говоря, другими.
Располагая достаточной информацией относительно распределения масс и жесткостей системы, можно рассчитать собственные частоты этой системы. Для инженера этот вопрос иногда является наиболее важным. В тех случаях, когда конструкции допускают большое разнообразие типов деформаций (примером могут служить авиационные конструкции), такой расчет может оказаться весьма трудоемким.
Вопрос о том, зачем необходимо знать собственные частоты конструкции, машины или какой-либо другой системы, мы рассмотрим позже. Мы увидим, что не обязательно знать все частоты и что интерес представляют лишь те частоты, значения, которых лежат в некотором диапазоне; во многих случаях достаточно лишь знать низшие частоты.
Если "системой" является кристалл (типа тех, которые используются в проигрывателях), то наиболее важную роль играют частоты порядка многих тысяч герц. Наоборот, у машин и конструкций в целом значения наиболее важных частот, как правило, гораздо ниже - в большинстве случаев не выше 50 Гц и редко более 500 Гц.
На практике значения низших собственных частот систем могут быть весьма малыми. Например, бельевая веревка, подвешенная на двух столбах, может в случае достаточного провисания совершать свободные колебания с частотой 1-2 Гц. Колебания такого типа были обнаружены осенью 1959 г. у проводов линии электропередачи, пересекавшей реку Северн (см. фото 9); частота этих колебаний была весьма низкой - около 1/8 Гц. Провода диаметром 43 мм, протянутые над рекой, были прикреплены к двум большим пилонам, расстояние между которыми превышало 1,6 км. Было обнаружено, что когда ветер дул с небольшой силой, но в определенном направлении, возникали столь интенсивные низкочастотные колебания проводов, что эти провода, номинальное расстояние между которыми составляло 8,2 м, входили в соприкосновение, вызывавшее короткое замыкание в системе электропередачи. (Была найдена вероятная причина этих колебаний, и в дальнейшем их удалось предотвращать путем покрытия тросов тонкой пластиковой лентой: благодаря этому изменялась геометрия поверхности, обтекаемой воздушным потоком.)
Колебания проводов над рекой Северн не представляют собой свободных колебаний, поскольку в этом случае пассивная система находилась под действием внешнего источника энергии - ветра. Однако характерно, что при решении этой проблемы инженерам, как обычно, потребовалась информация относительно значений собственных частот системы, близких к частоте наблюдавшихся колебаний.
Сделаем, наконец, еще одно замечание относительно частот свободных колебаний. Такова природа вещей, что у всех конструкций средняя "густота" распределения собственных частот увеличивается с ростом номеров соответствующих форм колебаний. Это утверждение не противоречит отмеченному выше свойству велосипедной цепи, согласно которому распределение ее собственных частот с ростом номера форм стремится к равномерному. Дело в том, что указанное свойство цепи относится лишь к рассмотренным выше колебаниям в плоскости наименьшей жесткости. Но, кроме того, цепь может закручиваться и изгибаться в плоскости наибольшей жесткости; отдельные ее звенья также могут деформироваться сложным образом. Все колебания этих типов связаны с деформациями материала и поэтому имеют высокие собственные частоты; они и располагаются в промежутках между ранее рассмотренными равномерно распределенными частотами колебаний.
§ 2.3. СОБСТВЕННЫЕ ФОРМЫ КОЛЕБАНИЙ
Как показывает опыт с велосипедной цепью, частоты свободных колебаний системы тесно связаны с соответствующими собственными формами. В примере со струной рояля колебаниям с частотой 440 Гц соответствует скорма с одной полуволной; колебаниям с частотой 880 Гц - форма с двумя полуволнами и т.д. (рис. 17).
 |
Струна рояля и маятник - это простые системы, и их собственные формы
нетрудно рассчитать. Собственные формы колебаний зданий, деталей машин
и т.п. объектов техники гораздо сложнее. На рис. 18 показано несколько
собственных форм колебаний самолета VC-10; эти формы соответствуют частотам,
которые были указаны в § 2.2. На практике собственные частоты и формы колебаний
нового самолета определяют как расчетным путем, так и из экспериментов.
Собственные формы колебаний системы (каждая из которых соответствует одной собственной частоте) обладают интересным свойством. Любая возможная конфигурация системы может быть представлена в виде суперпозиции (наложения) некоторого числа таких конфигураций, каждая из которых соответствует одной собственной форме колебаний. Таким образом, если задать системе некоторую статическую деформацию, а затем освободить систему, то возникнут свободные колебания по всем соответствующим формам; каждое из таких колебаний будет происходить с соответствующей собственной частотой независимо от остальных движений. Мы уже высказывали это положение, когда рассматривали поведение велосипедной цепи; оно показывает, каким образом сложный характер движения в целом согласуется с простым характером колебаний по отдельным формам. |
Если система имеет две или большее число близких по значению собственных частот, возникает трудность в правильном определении соответствующих собственных форм. Это связано с тем, что чем ближе значения собственных частот, тем труднее различать формы колебаний. Конический маятник может совершать свободные колебания в одной плоскости (скажем, плоскости х), а также в перпендикулярной к ней плоскости у. Вполне правильно считать колебания в каждой из этих двух плоскостей совершающимися по собственным формам. Ясно, однако, что маятник может совершать колебания и в любой другой плоскости, причем такое движение можно представить в виде суперпозиции колебаний в плоскостях х и у. Короче говоря, любая комбинация двух собственных форм также является собственной формой. Эта своеобразная ситуация возможна и в авиационных конструкциях.
Выше отмечалось, что одним из условий существования свободных колебаний является накопление телом энергии при выведении его из состояния равновесия. При изменении состояния тела, например, при увеличении его температуры, изменится и этот процесс накопления энергии. В результате система будет иметь другие собственные частоты и формы. При полетах со сверхзвуковыми скоростями самолеты заметно нагреваются вследствие трения о воздух ("кинетический нагрев"), и в результате их собственные формы и частоты колебаний изменяются. В ближайшие годы этому вопросу, весьма важному для самолетостроителей, несомненно, будет уделено большое внимание.
§ 2.4. ЗАТУХАНИЕ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Мы уже указывали одну характерную особенность свободных колебаний: такие колебания затухают. Этот эффект объясняется наличием трения; иногда его называют демпфированием. Звук колокола слышен в течение длительного времени после удара, так как в материале нет значительных сил трения, которые привели бы к рассеянию механической энергии за счет ее перехода в тепловую энергию, а рассеяние энергии за счет излучения звуковых волн происходит весьма медленно. С другой стороны, если раскачать кузов автомобиля, а затем отпустить его, то колебания быстро затухнут. Это объясняется действием специально установленных демпферов. Когда колеса автомобиля наезжают на препятствие, пружины подвески резко сжимаются. Если бы демпферы отсутствовали, то кузов раскачивался бы после этого в течение долгого времени, пока энергия постепенно бы не рассеялась. Как правило, в конструкциях с малым трением (таких, как колокол) следует ожидать более интенсивных колебаний, нежели в конструкциях с высоким уровнем рассеяния энергии.
Мы увидим, что для некоторых систем вопрос о наличии или отсутствии трения играет весьма существенную роль. Иногда инженерам приходится бороться с трением в конструкциях. Например, в некоторых приборах применяются упругие шарниры, в которых желательно добиться возможно меньшего рассеяния энергии. Одна из возможных конструкций такого шарнира изображена на рис. 19 (штрихпунктиром показана ось шарнира).
Рассеяние энергии имеет место в любой колебательной системе. Известно, например, что при вибрациях самолета часть энергии рассеивается в панелях обшивки за счет трения в заклепочных соединениях. Конструкции зданий должны обладать значительным демпфированием; это обстоятельство чрезвычайно важно с точки зрения поведения здания при землетрясении.
Иногда, если это особенно желательно, можно искусственно вводить трение; так, например, на автомобилях устанавливают демпферы колебаний. Прибор, стрелка которого безостановочно колеблется около положения, соответствующего истинному показанию (кривая а на рис. 20), доставляет нам больше, чем простое неудобство. Поэтому, чтобы стрелка пришла в это положение достаточно быстро (кривая б), вводится демпфирование. Чрезмерно сильное трение является столь же вредным, как и недостаточное трение, поскольку в этом случае стрелка перемещается в положение отсчета слишком медленно (кривая е).
Существует много способов искусственного введения трения в систему. Это может быть осуществлено, например, электрическим способом, однако возможны и чисто механические методы демпфирования. Вот некоторые из них:
1. Вязкое трение в жидкости. Простым примером является гидравлический демпфер, который состоит из поршня, перемещающегося в цилиндре; трение возникает при перетекании жидкости (часто вместо жидкости используется воздух) в тонком зазоре между поршнем и стенкой цилиндра. В некоторых других устройствах используются лопасти, движущиеся в масле или силиконовой жидкости.Таким образом, существует два типа демпфирования: искусственно вводимое демпфирование и демпфирование, связанное с естественными силами трения. Если искусственно вводимое трение в некоторых случаях допускает разумную теоретическую оценку, то естественное трение, как правило, не поддается расчету и должно определяться экспериментально.2. Материалы с высоким уровнем рассеяния энергии. При ударе по "колоколу", изготовленному из специального сплава меди и марганца, вместо звона слышится глухой стук. В амортизирующих опорах часто используют резину; это отчасти связано с ее высокими демпфирующими характеристиками. Лопатки компрессоров газовых турбин иногда изготавливают из волокнистых полимерных материалов, обладающих значительным внутренним трением.
3. Демпфирующие покрытия панелей. Существуют такие вещества, что если нанести их на поверхность металлической панели, то при ударе по панели вместо характерного для металлов звука слышен глухой стук.
4. Сухое трение, возникающее при взаимном скольжении поверхностей в процессе вибрации. Этот способ используется, например, в некоторых компрессорах газовых турбин, где осуществлено шарнирное крепление лопаток к ротору. Кроме того, в некоторые пружины с целью демпфирования вставляются пучки металлической проволока.
5. Слоистые конструкции. Панели, состоящие из тонких металлических листов, разделенных тонким слоем вязкоупругого материала, обладают хорошими звукоизолирующими свойствами.
6. Пенопластовые или резиновые прокладки. Яйцо или электрическую лампочку, тщательно упакованные в подходящий материал, можно без всякого риска бросать с большой высоты на твердый пол.
Выше мы вкратце рассмотрели вопрос о том, что такое демпфирование и как оно возникает.
Выясним теперь, какое влияние оказывает демпфирование на колебания системы, в частности, на частоты и формы свободных колебаний.
Опустив ванну D, закрутим маятник и затем отпустим его. После этого возникнут медленно затухающие свободные колебания диска А, Будем отмечать звуковым сигналом окончание каждого цикла. Если в процессе этого эксперимента поднять ванну D, то мы заметим, что наступает резкое затухание колебаний, однако заметных изменений частоты сигналов не обнаруживается. Другими словами, введение интенсивного рассеяния энергии оказывает незначительное влияние на частоту.
Для исследования влияния демпфирования на собственные формы колебаний можно видоизменить опыт с висящей велосипедной цепью. Подвесим к изображенному на рис. 15 кулисному механизму вторую цепь на расстоянии 25-50 мм от первой. Эту вторую цепь мы опустим в глубокий стеклянный сосуд с жидким парафином, оставив первую цепь по-прежнему в воздухе. Через стеклянные стенки сосуда можно наблюдать две цепи, одна из которых демпфирована гораздо сильнее другой.
Изменяя скорость вращения мотора, приводящего в движение кулисный механизм,
мы убеждаемся, что при
некоторой скорости вращения достигается максимальная интенсивность
колебаний обеих цепей, хотя колебания цепи в воздухе происходят
с большей амплитудой. Если теперь резко остановить мотор, то обе цепи будут
совершать свободные колебания. При этом можно видеть, что формы обеих цепей
одинаковы и не изменяются в процессе колебаний. (Частоты колебаний цепей
также одинаковы, - к этому мы подготовлены после эксперимента с крутильным
маятником. Разумеется, колебания цени, погруженной в сосуд с жидким парафином,
вследствие сильного трения затухают гораздо быстрее.) Таким образом, мы
приходим к выводу, что увеличение демпфирования не приводит к существенным
изменениям частоты или формы свободных колебаний.
Приведенные результаты, относящиеся к роли демпфирования, носят общий характер; наши эксперименты служат лишь наглядными иллюстрационными примерами. На основании этих результатов возникают следующие интересные и весьма важные соображения. Мы показали, что увеличение трения не приводит к заметным изменениям частот и форм свободных колебаний. Мы не показали, правда, что эти изменения малы и в том случае, когда трение вводится в систему, первоначально лишенную трения. Тем не менее, можно предположить, что это действительно так, и теория подтверждает это предположение.
Поэтому исследование свободных колебаний вначале удобно проводить без учета трения. Рассматривается воображаемая система, в которой свободные колебания никогда не затухают. Однако собственные формы и соответствующие частоты свободных колебаний воображаемой системы можно принять за собственные формы и собственные частоты действительной системы (системы с трением).
Такой подход оказывает неоценимую помощь при практических расчетах колебаний * благодаря тому, что усложнения, связанные с учетом трения, уже не препятствуют определению собственных частот и форм. Расчетчик, вычисливший эти характеристики для воображаемой системы, знает, что они не должны значительно отличаться от тех частот и форм колебаний, которые наблюдались бы в реальной системе, где имеется трение.
* Читатель заметил, быть может, что этот подход представляет ценность и в логическом отношении, так как устраняет необходимость точного определения таких понятий, как "частота" и "форма" несинусоидальных (затухающих) колебаний. Это один из тех вопросов, которых мы тщательно избегали; теперь мы видим, что он представляет скорее теоретический, чем практический интерес.Мы видели, что собственные формы колебаний системы образуют последовательность, причем каждая форма отличается от всех остальных. На языке математики говорят, что каждая собственная форма "ортогональна" ко всем остальным формам, причем условие ортогональности может быть записано в виде математического соотношения. Это условие играет важную роль в теоретических исследованиях, и поэтому весьма существенно, что условие ортогональности собственных форм колебаний системы без демпфирования оказывается гораздо проще соответствующего условия для собственных форм, наблюдаемых при наличии демпфирования.
Основываясь на идее использования воображаемой системы без трения, можно подвести итог полученных результатов. Частоты и формы свободных колебаний системы определяются значением и распределением масс и жесткостей; каждой собственной форме соответствует определенная собственная частота. В любой реальной системе можно возбудить свободные колебания с частотой и формой, близкими к найденным частоте и форме свободных колебаний воображаемой системы (небольшие различия этих характеристик связаны с наличием трения).
§ 2.5. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ТЕХНИКЕ
Свободные колебания - это хорошо известное явление. Иногда инженеры производят измерения свободных колебаний, обычно с целью получения информации относительно собственных форм и частот, а также быстроты затухания колебаний. Такие измерения производят, например, при летных испытаниях головных образцов самолетов, причем начальное возмущение создается взрывом небольших зарядов. Другой, более распространенный способ заключается в резком перемещении ручек управления.
Раньше свободные колебания самолета при наземных испытаниях иногда возбуждали путем быстрого снятия статической нагрузки. При помощи натянутой веревки крыло выводилось из положения равновесия; затем веревка перерезалась, и можно было наблюдать свободные колебания.
Ниже мы рассмотрим колебания фабричных труб, иногда возникающие под действием ветра. Экспериментальные данные о свободных колебаниях трубы, изображенной на фото 10, получены в результате измерения колебаний, вызванных действием небольших ракет, укрепленных в верхней части трубы.
В ряде случаев после затухания свободных колебаний в системе сохраняются постоянные колебания, вызванные какой-либо другой причиной. Автомобильный двигатель раскачивается при его включении или выключении. Такие колебания связаны с пуском и остановкой двигателя; в процессе работы двигателя они отсутствуют (стационарными колебаниями мы займемся в следующей главе). Такие же свободные колебания могут возникать при изменениях скорости: так, автомобильный двигатель может начать раскачиваться в результате резкого увеличения скорости вращения вала. Вообще, одной из основных причин возникновения свободных колебаний машин является изменение режима их работы. Обычно, однако, эти колебания не представляют большого интереса, так как вследствие демпфирования они быстро затухают.
В следующей главе мы увидим, что у гибких валов существуют некоторые опасные скорости, при которых вращение сопровождается изгибом вала. При разгоне таких валов до рабочих скоростей они должны проходить через эти опасные скорости. Как и в случае с автомобильным двигателем, изменение скорости вращения вызывает появление свободных колебаний вала. Вибрации крупного ротора турбогенератора весьма опасны, поэтому тщательному изучению подвергается вопрос о темпах прохождения опасных скоростей при разгоне и остановке ротора.
Приведенные примеры показывают, почему свободные колебания как таковые могут привлекать внимание инженеров. Мы уже отмечали, однако, что этот тип движения имеет фундаментальное значение. Частоты, формы и коэффициенты затухания свободных колебаний фактически характеризуют "динамическую индивидуальность" системы. Поэтому если мы располагаем достаточной информацией относительно этих характеристик системы, то можно надеяться, что удастся предсказывать поведение системы в различных условиях; при отсутствии такой информации мы вообще не сможем дать никаких оценок. Именно этим вопросам посвящена большая часть данной книги.
Такая "индивидуальность" динамических характеристик может быть проиллюстрирована многими способами, например, при помощи эффектного опыта с "поющей грубой". Будем держать в вертикальном положении кусок водопроводной трубы, нижний конец которой закрыт металлической сеткой. Если в течение некоторого времени нагревать сетку спиртовой горелкой, а затем эту горелку убрать, то рассматриваемое устройство начнет звучать. Это звучание не представляет собой случайный шум, и имеет вполне определенный характерный тон. Таким образом, труба и находящийся в ней воздух обладают некоторыми собственными вибрационными характеристиками, определяющими высоту этого тона, т.е. обладают своего рода "индивидуальностью". Если мы интересуемся поведением гудящей водопроводной трубы, то необходимо исследовать эти характеристики и определить собственные формы и частоты колебаний.
Все это выглядит несколько таинственно. Дело же заключается в том, что динамическая индивидуальность системы в значительной степени определяет ее поведение при возбуждении колебаний. Механические системы ведут себя так, как если бы они стремились непрерывно совершать свободные колебания по собственным формам с соответствующими собственными частотами. В нормальных условиях это невозможно из-за наличия трения, однако при действии некоторого возбуждения колебания будут поддерживаться. Как мы увидим, здесь имеются две возможности: система может либо получать возбуждение извне, либо сама обеспечивать необходимое возбуждение за счет стремления совершать свободные колебания с собственной частотой.
§ 2.6. НЕКОТОРЫЕ БОЛЕЕ СЛОЖНЫЕ ВОПРОСЫ
При первом чтении может показаться, что приведенное описание процесса свободных колебаний достаточно сложно. Но явления в действительности могут быть еще сложнее, хотя те вопросы, которые мы еще не рассматривали, можно трактовать лишь как подробности. Вкратце рассмотрим эти подробности.
Мы видим, что существуют три основных фактора, определяющих процесс свободных колебаний систем, - масса, жесткость и демпфирование (в самом широком смысле этих слов). Все эти характеристики могут изменяться под влиянием многочисленных причин. Например, инженеры-кораблестроители сталкиваются с осложнениями при исследовании качки судов и вибрации их корпусов, так как жидкость, обтекающая судно, вызывает увеличение массы и коэффициента затухания системы *. Подобная картина наблюдается в случае жидкости, налитой в сосуд; например, плескание топлива в баках может чрезвычайно усложнить расчеты колебаний ракеты. Сейчас нет необходимости вдаваться в подробности математического исследования таких задач; этот вопрос весьма сложен.
* Это увеличение можно рассмотреть с других позиций; мы коснемся этого вопроса в гл. IV.Если колебательная система обладает гироскопическими свойствами, то возникают необычные эффекты при свободных колебаниях. Подобные эффекты можно проиллюстрировать при помощи маятника, изображенного на рис. 22. Плечо маятника А с укрепленным на его нижнем конце игрушечным гиростатом С висит на короткой нити В. Если гиростат С не вращается, то маятник может качаться в одной вертикальной плоскости, проходящей через точку подвеса. Если же гиростат вращается, то и плоскость качаний также поворачивается *.
* Это легче всего продемонстрировать, если к гиростату подвесить снизу воронку с сухой солью. Кристаллы соли будут оставлять след, который особенно хорошо заметен на листе черной бумаги.
Прибор, изображенный на рис. 23, может помочь нам разобраться в этом явлении. Электродвигатель В, установленный на вращающейся платформе С, приводит во вращение тонкий диск А, вырезанный из чертежной бумаги (на рисунке он виден сбоку). Если А и С вращаются в направлениях, указанных стрелками, то диск изгибается так, как показано сплошной линией на рисунке. Если изменить направление вращения платформы С, то диск изогнется по форме, изображенной штриховой линией. Поэтому, если платформа С совершает крутильные колебания относительно своей вертикальной оси, то форма изгиба диска циклически изменяется) причем эти колебания совершаются относительно оси, перпендикулярной плоскости чертежа. Таким образом, рассматриваемый эффект связан с осью, перпендикулярной к обеим осям вращения; именно поэтому он и является столь неожиданным. С этим эффектом связаны повороты плоскости гиромаятника при его колебаниях.
Два других осложняющих фактора связаны с влиянием трения. Во-первых, при очень большом трении некоторые из приведенных выше простых результатов становятся неверными. В этом случае частоты и формы свободных колебаний заметно изменяются под действием трения, и уже нельзя считать, что они будут такими же, как и в системе без трения. Показать это на опыте нелегко, поскольку при столь сильном трении колебания быстро затухают. Это означает в свою очередь, что наблюдения произвести затруднительно, а также что необходимо углубиться в смысл понятий "частота" и "форма колебаний" для закона движения, существенно отличающегося от синусоидального.
Еще более серьезным является другое осложнение, связанное с влиянием
трения. До сих пор мы предполагали, основываясь на довольно грубом опыте,
что вызываемое трением затухание колебаний каждой из собственных форм происходит
независимо
от колебаний всех остальных форм. Но это предположение не всегда справедливо
(хотя его трудно опровергнуть точным экспериментом). Существует, например,
косвенное указание на тот факт, что силы трения, возникающие при свободных
колебаниях конструкции самолета, приводят к взаимному влиянию собственных
форм. Это означает, что если бы мы каким-то образом задали конструкции
начальную деформацию, соответствующую одной из собственных форм, то последующие
свободные колебания усложнились бы вследствие возбуждения других форм.
Указанное обстоятельство весьма затрудняет изучение колебаний в практических
задачах; к счастью, оно редко играет заметную роль.
| Предисловие редактора перевода
Предисловие Предисловие ко второму изданию на русском языке
|
