VIVOS VOCO: В.И. Арнольд,"МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ДУЭЛЬ ВОКРУГ БУРБАКИ"

На дуэль меня вызвал Ж.-П. Серр, мотивировавший свой вызов так: "Я хочу рассказать о влиянии Бурбаки на математику. Но если все будут говорить одно и то же, да еще панегирически, то это будет скучно. Поэтому я стал искать, кто бы мог высказать наиболее противоположное моему мнение. И, перелистав справочник математиков мира, понял, что это ты".

Дуэль состоялась 13 марта 2001 г. в Институте А. Пуанкаре. Каждый из нас говорил по часу. В заключительном слове Серр сказал: "Теперь мы еще раз убедились, какая это замечательная наука - математика. Люди со столь противоположными мнениями, как мы двое, могут в ней сотрудничать, уважать друг друга, знать и использовать результаты друг друга, сохраняя при этом свои противоположные мнения... И, смотрите -мы оба остались живы...". Ниже я постараюсь описать эту дискуссию.

Первым выступил Серр. Он рассказал об основных достижениях Бурбаки и его школы. Поскольку очень многое из этого хорошо известно, я остановлюсь только на том, что меня особенно поразило в выступлении Серра.

Прежде всего - об особенной роли нуля. Оказывается, нуль - положительное число. Действительно, для Бурбаки все общие понятия важнее их частных случаев, поэтому все нестрогие неравенства являются фундаментальными, а строгие - маловажными специальными случаями, примерами. В соответствии с этим во Франции слово "больше" в математике означает то, что мы называем "больше или равно". Например, каждое вещественное число больше самого себя, а значит, нуль больше нуля и, следовательно, положителен!

По этому поводу я прочел в инструкции для студентов первого курса Парижского университета Орсэ: "В англо-саксонских учебниках, которые (к сожалению? - В. А.) еще сохранились в библиотеке, вы можете встретить другую точку зрения на неравенства, что особенно неприятно при работе с e-d-определениями в теории непрерывности и пределов, в частности, при попытках сформулировать отрицание сходимости. Но не забывайте, что вы учитесь во Франции, и поэтому пользование англо-саксонскими неравенствами может сильно повредить вам на экзаменах". Мои французские коллеги сказали мне, что они считают русские книги "англо-саксонскими". Впрочем, в русских книгах "встречаются и своеобразные другие нелепости": в них "линейными пространствами" называются многомерные векторные пространства, в то время как всякому известно, что слово "линейный" означает "одномерный" (как линия). С тех пор "линейное пространство" я стал везде заменять "векторным", хотя и не смог заставить себя считать нуль положительным числом.

Кроме положительности нуля, то же рассуждение устанавливает и его отрицательность (ибо нуль меньше нуля по французско-бурбакистской терминологии). Мои коллеги и ученики разъяснили мне, что нуль входит также и в множество неположительных чисел, а заодно и в множество неотрицательных чисел. Но Серр, кроме указанных неравенств, доказал еще одно свойство нуля: он оказывается вдобавок числом натуральным.

Вот это (поразительное, на мой взгляд) доказательство:

"Некоторые (намек на Арнольда. - В. А.) считают, что натуральные числа - это те, которые участвуют в натуральном (то есть естественном) счете: «один, два, три...». Но такой экспериментаторский подход ненаучен. С точки зрения нашей высокой науки, «естественный счет» никакого отношения к теории не имеет. Научное определение таково: «Натуральные числа - это мощности конечных множеств». А какое из конечных множеств - самое главное? Разумеется, пустое! Значит, его мощность, то есть нуль, - натуральное число!".

В уже упомянутом руководстве для первокурсников все это используется для определения факториала. Вот это определение: во-первых, 0! = 1; во-вторых, для любого натурального числа n имеет место равенство (n + 1)! = (n + 1)n!.

Если не знать, что нуль - натуральное число, то ни одного факториала невозможно ни определить, ни понять, ни вычислить. Кстати, обычное определение n! = 1• 2 • ... • n, во-первых, не фигурирует в этом тексте нигде, и, во-вторых, считается ошибочным. А именно: во-первых, участвующие в этом определении три точки не определены, а во-вторых, определение не годится ни для n = 0, ни для n = 1.

Раз уж я стал разбирать это руководство, процитирую из него еще одно место. Речь идет теперь об определении науки математики, чтобы студенты знали, что им предстоит:

"Математика есть наука о доказательствах, доказательства это цепочки импликаций: (из А вытекает В, из В вытекает С) - цепочка; вывод: доказано, что из А вытекает С. Итак, самое главное - понять, что такое одна импликация. Вот ее определение. Пусть А и В - два произвольных высказывания. Если оба они верны, то говорят, что из А вытекает В".

На мой непросвещенный взгляд, такая точка зрения на импликации (а следовательно, и на доказательства, и на математику) - чистое мракобесие. При таком определении из того, что дважды два четыре, следует, что Земля вращается вокруг Солнца. Студента, понимающего выводы и доказательства подобным образом, уже бесполезно учить какой-либо естественной науке: мракобесие уничтожает естествознание как таковое. По этой мракобесной логике Галилея поделом наказывали: он ведь говорил о своих доказательствах вращения Земли и других подобных фактов совсем в другом смысле.

Авторы инструкции для младшекурсников, видимо, чувствовали, что они что-то не договорили, а потому добавили к своему определению импликации примечание.

"Пусть опять даны два утверждения A и В, но на этот раз утверждение А ложно. Тогда тоже говорят, что имеет место импликация «из А вытекает В», даже независимо от того, верно В или нет".

Впрочем, авторы обещают в дальнейшем этим примечанием не пользоваться.

Из других бурбакистских принципов, упомянутых Серром, назову еще утверждение о полной независимости математики от физики. В одном своем письме ко мне Серр уже заявил, что "у математики и физики нет ничего общего", но он добавил тогда, что "не станет публиковать этого утверждения, потому что нам, математикам, не следует высказываться по философским вопросам, ибо самые лучшие из нас способны высказать здесь совершеннейшую чушь".

Я считаю это письмо бумерангом (бумеранг - оружие, убивающее самого охотника), подобно другому письму Серра, где он отказался участвовать в подготовке книги Международного математического союза (Mathematics: Frontiers and Perspectives, IMU-AMS, 2000), подводящей математический итог столетию, мотивируя это тем, что, по его опыту, "в математике все коллегиальные предприятия - сплошные неудачи". У Бурбаки не бывает официального лидера, но Серр, я думаю, фактически был лидером этого коллегиального предприятия пару десятков лет.

Первый же бумеранг Серра неожиданным образом повлиял на школьную реформу в России. Осенью 2000 г. в Москве проводилось большое заседание по вопросу "нужно ли преподавать математику в гуманитарных вузах (экономистам, историкам, юристам, филологам, психологам и т.д.), и если нужно, то какую?". Несколько часов я слушал на этом заседании выступления тех, кто ее уже преподает. В основном я понял такую идею: для гуманитарных наук важнее всего сейчас компьютеризация, поэтому нужна та математика, какую использует компьютер. Следовательно, самым главным должен быть солидный (уж не помню, годовой или двухгодовой) курс теории пустых множеств, видимо, для понимания булевой алгебры, в которой работает компьютер.

Затем слово взял один настоящий математик, который заявил:

"Я хочу выступить здесь против Арнольда" (последний к этому моменту ничего еще не говорил. - В.А.). А именно, Арнольд в одной своей статье писал, что Гильберт в 1930 г. в статье "Математика и естествознание" утверждал, что геометрия - часть физики, в то время как один крупнейший французский математик сейчас утверждает, что математика и физика не имеют ничего общего. Арнольд делает вывод, что эти два утверждения противоречат друг другу. Но противоречие получается только у тех, кто в силу своей недостаточной интеллектуальной подготовки не читал Аристотеля (или не понял его). Я же Аристотеля понял, и поэтому просто прихожу из этих двух утверждений к выводу: геометрия не имеет с математикой ничего общего и потому должна быть исключена из всех математических курсов - от средней школы до университетов".

Через пару месяцев я получил от министра просвещения проект нового школьного образования с указанием числа часов на каждый предмет в каждом классе. И геометрия была исключена вовсе (видимо, под влиянием выступавшего математика, который, вдобавок, был ранее по моей инициативе избран Отделением математики РАН своим представителем в министерстве). Ученый совет Математического института им. В.А. Стеклова РАН в ответ на исключение геометрии из министерского плана написал министру письмо, указывая на необходимость геометрии для полноценного среднего образования, причем не только как части математики, но и как части общей культуры, как тренировки мышления, а также ради использования в физике, технике и т.д. Через несколько недель геометрию вернули на место. Позже коллеги из Дубны говорили мне, что, кроме Математического института, протестовали также представители оборонных предприятий: "без геометрии не будет ни бомб, ни ракет".

Антифизические идеи в математике давно популяризируются самыми разными ее представителями. Г. Харди, например, объяснял (в недавно изданной по-русски "Апологии математика") слова Гаусса "теория чисел - королева математики" сходством теории чисел с королевой: это сходство заключается, согласно Харди, в полной бесполезности обеих. Недавно эта бурбакистская идея получила новую формулировку, принадлежащую одному из крупнейших математиков Германии, содиректору Математического института им. М. Планка в Бонне Ю.И. Манину (опубликована в той же книжке о перспективах математики, в которой отказался участвовать Серр).

Теория Манина состоит из трех частей.

Во-первых, он определяет математику как раздел филологии или лингвистики: это наука о формальных преобразованиях одних наборов символов некоторого конечного алфавита в другие при помощи конечного числа специальных "грамматических правил". Отличие математики от живых языков состоит, по Манину, лишь в том, что в ней больше грамматических правил. Например, имеется правило, позволяющее заменять символы "1+2" на "3".

Второй тезис Манина основан на том, что любому человеку с непредвзятым мышлением ясно: подобным переливанием из пустого в порожнее нельзя открыть ничего нового. Если все же в конце и получается что-то интересное, то это означает просто, что оно содержалось уже в исходных данных. Поэтому общество, правительства и т. п. не хотят оплачивать все это бессмысленное переливание из пустого в порожнее. Но математики хотят получать стипендии, гранты и тому подобное. Для этой цели они изобрели университеты и факультеты, где студентов обучают претендовать на открытия (которые им недоступны в силу самого характера их деятельности, как объяснено выше). В этом, по Манину, состоит сущность математического образования: это просто обучение претенциозности.

Третий тезис был добавлен к двум первым после того, как я (во время Международного математического конгресса 1998 г. в Берлине) оспорил первые два. "Некоторые, - пишет Манин, не называя меня, - возражают, утверждая, будто математика полезна в физике, технике и вообще для прогресса человеческой цивилизации. Но они заблуждаются. Чем математика действительно полезна, так это своим огромным вкладом в решение основной проблемы современного постиндустриального человечества. Проблема же эта состоит вовсе не в том, чтобы, как думают некоторые, ускорять прогресс человечества, а напротив, в том, чтобы этот прогресс всемерно тормозить. Математика отвлекает умных людей от действительно опасных для человечества занятий. Если бы вместо проблемы Ферма умники усовершенствовали бы автомобили или самолеты, вреда человечеству было бы больше".

Многие спрашивают меня, не шутка ли все это. Но речь идет о серьезной теории, завершающейся следующим рассуждением. Проблема Ферма более не способна отвлекать: она решена Э. Уайлсом. Поэтому следует указать новые столь же бесполезные и малоинтересные вопросы, чтобы отвлечь следующие поколения математиков. Исходя из этого, Манин посвящает заключительные 90% своей статьи перечню подобных задач.

Вернусь к своему дуэльному докладу.

Я его начал с упоминания старого русского (а возможно, даже византийского?) обычая: "о покойниках плохо не говорят", и хотя вся дискуссия была озаглавлена "Вокруг Бурбаки", я продолжил: "поэтому о Бурбаки я говорить не буду" (о его смерти официально было объявлено несколько лет назад). Мой доклад назывался "Математика и физика", и его я здесь пересказывать не стану, так как моя статья "Математика и физика: родитель и дитя или сестры?" опубликована в "Успехах физических наук" (1999, № 12). Ради юбилея Академии наук редакция поместила в этом выпуске несколько необычных для физического журнала статей, в том числе статьи К. Вейерштрасса и К. Якоби.

Одну фразу из этой своей статьи я все же упомяну, потому что физики настолько обиделись на меня за нее, что не включили ее в русское издание (в английской версии она есть). Статья начинается с пары эпиграфов, описывающих обе науки. Первый принадлежит Стендалю: "Я любил и теперь еще люблю математику ради нее самой, как не допускающую лицемерия и неясности, которые мне отвратительны". Второй (выкинутый редакцией) эпиграф подчеркивает кардинальное отличие точки зрения физиков на лицемерие: "Let us put a = 0, though it does not make any sense and is not quite correct from the viewpoit of quantum mechanics" (E. Schroedinger. "Statistical thermodynamics") *.

* "Давайте примем a = 0, хотя это не имеет какого-либо смысла и не является корректным с точки зрения квантовой механики" (Э. Шредингер. Статистическая термодинамика"). - Ред.

В своем дуэльном докладе я упомянул о большом влиянии на Бурбаки идеологии Декарта, четыре принципа которого состояли в следующем.

• Не следует экспериментально проверять исходные положения наших теорий: это просто произвольные аксиомы, и их отношение к реальности отношения к науке не имеет.
• Столь же бессмысленно сравнивать с реальностью и окончательные выводы: вряд ли они согласуются с ней лучше исходных аксиом.
• Что действительно важно - это по строгим правилам логики преобразовывать аксиомы в конечные результаты, избегая всякого участия воображения. Чтобы сделать геометрию наукой, необходимо изгнать из нее чертежи - это следы экспериментов, с одной стороны, и пища для воображения - с другой. Вместо кривых и поверхностей нужно рассматривать идеалы и модули, делая геометрию чисто аналитической.
• Нужно немедленно запретить все другие методы преподавания, кроме моего (Декарта. - В. А.), ибо он один является политически корректным: при этом методе самые посредственные умы продвигаются столь же быстро, как и самые блестящие.

Интересно, что "Оптика" Декарта - его основная книга, где он, в соответствии со своими принципами, обнаружил, что скорость света в воде на 30% больше, чем в воздухе (вопреки теориям Ферма, Гюйгенса и других, из которых получается противоположный вывод: скорость света в воде на 30% меньше) - впервые была опубликована в 1996 г. Думаю, что Декарт, хотя и опровергал мнения своих предшественников и современников, все же опасался их возражений. (Отмечу, что уже упомянутая статья К. Якоби в "Успехах физических наук" называется "О жизни Декарта и его методе направлять ум правильно и изыскивать в науках истину".)

Упомяну еще некоторые удивительные сведения из истории математики и физики, которые я сообщил совершенно незнакомой с ними французской аудитории. Начну с того, что восхищение ролью Евклида и Пифагора в развитии геометрии основано на своеобразных преувеличениях. Историкам уже больше сотни лет известны факты, о которых я расскажу, но математики никогда о них не знали.

Много тысячелетий назад (заведомо до Моисея) в Египте жил замечательный математик, сделавший массу открытий. Он был землемером (отсюда "геометрия") фараона, и известно лишь имя, которое он получил при посмертном обожествлении, - Тот (в функции этого бога на том свете входила перевозка душ умерших в лодке через Стикс или Лету древнего Египта). Первое его математическое открытие - натуральный ряд: он обнаружил, что самого большого целого числа нет (идея актуальной бесконечности), до него числа исчерпывались суммой налога фараону. Тот научился проводить доказательства, основанные на факте существования актуальной бесконечности.

Вторым я назову не вполне математическое открытие: изобретение первого фонетического алфавита. До этого письменность в Египте была только иероглифической. Тот же уменьшил число символов до нескольких десятков, сообразив, что, скажем, звук "с" можно всегда изображать упрощенным иероглифом, ранее означавшим слово "собака".

В диалоге Платона "Федр" описано обсуждение Тотом и главным египетским богом Аммоном изобретения алфавита. Тот утверждает, что способность записывать информацию сделает людей гораздо умнее, так как им не придется все запоминать, а можно будет тратить ум на размышления. Аммон же возражает, говоря, что, хотя люди восхищены изобретением, умнее они не станут. "Напротив, - говорит он, - они станут глупее, так как отвыкнут думать, полагаясь на свои записи". (Компьютеризацию тогда еще не обсуждали.) Финикийский и еврейский алфавиты произошли от египетского алфавита Тота, а от финикийского - греческий, а от него впоследствии - и римская латиница, и наша кириллица.

Третье изобретение Тота - геометрия. Он придумал (ради измерения площадей участков, чтобы знать и ожидаемый урожай, и налог, и нужное для полива количество нильской воды) и аксиомы, и теоремы, и определения, и построения. Единственное, в чем он не дошел до современного уровня, было то, что он совершенно не интересовался независимостью своих аксиом. Например, вместо аксиомы параллельных Евклида, он ввел, кажется, четыре или пять разных аксиом, каждая из которых на самом деле влечет за собой все остальные. Но он этого не доказывал, а просто пользовался всеми "аксиомами", и честь выбрать из этих аксиом одну ("пятый постулат"), а остальные превратить в теоремы принадлежит Евклиду.

Среди геометрических достижений того времени (если не самого Тота, то его учеников) - замечательное измерение радиуса земного шара. От Фив до Мемфиса караваны верблюдов шли почти по меридиану, и посчитать число шагов (то есть расстояние) не составляло труда. Измерить разность высот Солнца в полдень в один и тот же день в обеих столицах Египта тоже сумели. После этого радиус легко вычислить; удивительно, однако, что относительная ошибка этого измерения составляла всего 1% (по сравнению с современными измерениями).

Греки провели измерение Земли заново (через пару сотен лет). Не располагая Нилом, они решили использовать Средиземное море и проплыли на север от устья Нила до острова Родос. Расстояние они измерили, умножив "скорость корабля при ветре средней силы" на время путешествия. Размер Земли при этом получился вдвое больше правильного (считать верблюжьи шаги легче, чем оценивать, средней ли силы ветер).

Интересно, что много столетий спустя один генуэзский капитан пришел к католической королеве с просьбой отправить его в Индию западным путем (вместо восточного, впоследствии пройденного Васко де Гамой). Королева тотчас назначила экспертную комиссию и вскоре отказала капитану, потому что, дескать, "невозможно построить корабль, который вместил бы столько бочек пресной воды, сколько нужно, дабы доплыть так далеко". Но капитан спорил, и после нескольких туров дискуссий с экспертами ему позволили рискнуть умереть от жажды (говорят, вся дискуссия основывалась на том, что эксперты верили греческой оценке размеров Земли, а капитан - египетской). Вот как была (случайно) открыта Америка.

Тот основал в Египте звездочетство и небесную механику. Если и не он сам, то, во всяком случае, его древние последователи знали закон обратных квадратов (притяжения планет Солнцем), законы Кеплера и вывод одного из другого. Ньютон писал, что, поскольку этот вывод сгорел (вместе с семью миллионами других научных книг) в пожаре Александрийской библиотеки, где хранилась вся наука древнего Египта, то ему (Ньютону) "принадлежит честь восстановления этого древнего доказательства". В греческой и средневековой версии Тот именовался "Гермесом Трисмегистом" ("трижды величайшим") и его труды переиздавались чуть ли не ежегодно под названием "Изумрудная скрижаль" - у Ньютона дома было несколько ее изданий.

В VII в. до н.э. римский царь Нума Помпилий (следующий после Ромула) построил на форуме храм Весты, внутри которого был гелиоцентрический планетарий. В центре горел факел, изображавший Солнце. Вокруг него каждую планету (Меркурий, Венеру, Землю с Луной, Марс, Юпитер, Сатурн - а больше они не знали) носила по кеплеровой эллиптической орбите назначенная для этого весталка (учитывая и период обращения, и закон площадей). Если кто хотел найти на небе, скажем, Сатурн, то он шел в храм Весты, становился около "Земли", смотрел, где сейчас держат "Сатурн", замечал направление и потом, выйдя из храма, обнаруживал настоящий Сатурн, глядя по этому направлению.

В средние века научные книги истребляли, кроме лишь "практически полезных" - по артиллерии, мореплаванию и архитектуре. В книге Витрувия по архитектуре (1 в. н.э.) я видел среди полезных для архитектора кривых описание эллипса, сопровождающееся рассказом о его астрономических приложениях в теории движения планет. И Ньютон, и Коперник знали об этих древних гелиоцентрических теориях и цитировали их, но эта древность мало кого интересовала.

Среди других многочисленных изобретений Тота - игра в шашки, придуманная им как демократизация слишком сложных шахмат. Последние существовали вдобавок в двух вариантах; во втором фигуры означали целые армии, и на каждой была надпись, указывающая численность армии, а битва иногда не уничтожала фигуру, то есть армию, а только уменьшала ее численность.

Пифагор был одним из первых в мире, как это сейчас называется, индустриальных шпионов. Он провел в Египте около двадцати лет. Египетские жрецы обучили его своим наукам, но потребовали от него подписку о неразглашении (вследствие чего он никогда ничего и не публиковал). Теорема Пифагора была опубликована (в Вавилоне клинописью) за пару тысяч лет до него, вместе с доказательством и с формулой для нахождения Пифагоровых троек (вроде 3² + 4² = 5²), описывающих все прямоугольные треугольники с целыми длинами сторон. Кроме геометрии (о которой он рассказал своим греческим ученикам, донесшим ее до Евклида, уже не связанного подпиской о неразглашении и опубликовавшего эту тотовскую геометрию), Пифагор вывез из Египта независимую от индусской теорию переселения душ, базирующееся на ней вегетарианство и еще основы теории гармонии струнных музыкальных инструментов (формулу натяжения струн разных длин для получения одинаковой частоты - натяжение пропорционально квадрату длины; условия получения октавы, терции, квинты... - в сущности, теорию рядов Фурье).

Другими подобными Пифагору переносчиками египетских тайн в Грецию и в Европу были Платон (логика, философия) и Эвдокс (теория чисел, включая алгоритм Евклида и теорию иррациональных чисел типа теорий сечений Дедекинда или колец Тротендика). Последняя теория началась с открытия несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной (то есть с иррациональности числа Ц2 ), которое в пифагорейской школе было засекречено. Дело в том, что этот факт подрывал значение арифметической теории дробей (и тем самым всей математики): дроби оказывались недостаточными для потребностей физики (для измерения всевозможных длин), а следовательно, математики занимаются ненужной чепухой, их следует прогнать или по меньшей мере не кормить.

Пришлось добавлять к арифметике дробей новую науку - теорию вещественных чисел. Эту не такую уж простую задачу Евдокс блестяще решил, и сейчас удивительно, насколько его подход близок к современным (как в этом вопросе, так и в теории делимости и диофантовых уравнений). Открытие того, что такие факты, как однозначность разложения целого числа на простые множители, нуждаются в доказательствах, на самом деле не менее важно, чем проведение самого (впрочем, неочевидного) доказательства.

Из всего рассказанного мне казалось очевидным, что математика - это часть физики, а вовсе не наука о переливании из пустого в порожнее (как утверждает Манин и как думал Гильберт до теоремы Геделя, установившего невыполнимость программы Гильберта полной формализации математики). И математика, и физика - экспериментальные науки, разница лишь в том, что в физике эксперименты стоят миллиарды долларов, а в математике - единицы рублей.

Что же касается результата дуэли, то из нескольких сот слушателей со мной были согласны, по моей оценке, примерно 3/4. Но зато присутствовавшие математики все, как один, были на стороне Серра (или, во всяком случае, на это претендовали, ведь говорить иное было бы для них опасно). Известно, что французский министр просвещения (геофизик), желая понять, как учат математике детей, спросил одного отличника-младшеклассника: "Сколько будет два плюс три?" Бурбакисты-учителя не научили мальчика считать, и он не знал, что это 5, но он ответил так, как они с него требовали в школе: "Это будет 3 + 2, так как сложение коммутативно". Министр объявил, что такое обучение никуда не годится, что подобных учителей "математиков" надо гнать из школ, а считать детей пусть учит кто угодно другой - химик, инженер и т.п. Но результат подтвердил социальную устойчивость бурбакизма: министра сняли с поста (и даже его министерство не сохранили, а разделили на два независимых).

Четвертый принцип Декарта очень привлекателен для начальства. Лев Толстой уже отмечал, что всякое правительство естественным образом склонно бороться против образования своего народа: оно боится, что народ начнет понимать его поступки, поэтому стремится оставить его невежественным (письмо к А.М. Калмыковой; см. Толстой Л.Н. Соч. Т. 19. М., 1984. С. 364). Вот почему бурбакистская мафия, заменяющая понимание науки формальными манипуляциями с непонятными "коммутативными" объектами, так сильна во Франции, и вот что угрожает и нам в России.